Ecuaciones en Z
Resolver una ecuación es encontrar el valor de la incógnita que satisface dicha ecuación.
Para resolver una ecuación se aplica el procedimiento:
Se efectúan las operaciones indicadas si las hay.
Se agrupan los términos que contienen la incógnita en el primer miembro de la ecuación.
Se agrupan los términos independientes en el segundo miembro de la ecuación.
Se reducen los términos semejantes.
Se despeja la incógnita.
Para pasar términos de un miembro a otro:
Los términos que están sumando en un miembro pasan restando al otro miembro.
Los términos que están restando en un miembro pasan sumando al otro miembro.
Los términos que están multiplicando en un miembro pasan dividiendo al otro miembro.
Los términos que están dividiendo en un miembro pasan multiplicando al otro miembro.
Ejercicios:
1.Encontrar tres numeros enteros pares y consecutivos cuya suma sea 126.Si el menor de los enterosen 2k,los consecutivos serán :2k+ 2 y 2k+ 4.
Procedimiento:
La suma de los tres números es 126:
2k+2k+2+4=126
Resolviendo la ecuación
6k+6=126
K=126-66=20
Los tres nmeros enteros son:
2k=2.20=40
2k+2=40+2=42
2k+4=40+4=44
2.-Un rectángulo tiene 30 cm de altura y un perímetro de 140 cm.Cuanto debe aumentar la base para triplicar el perímetro
Si P=3.140 2.30+2b=420
P=2h+2b 2b=420-60
Si P=140 cm b=360/2
2.30+2b=140 b=180 cm
2b=140-60
b=80/2
b=40 cm
3. Resolver las siguientes ecuaciones:
a) 9x-5=4
9x=4+5
9x=9
X=9/9
X=1
b)X-2(x+2)-1=3x+2
x-2x-4-1=3x+2
X-2x-3x=2+1+4
-4x=7
X=- 7/4
miércoles, 3 de marzo de 2010
Guía
Ministerio de Poder Popular para la Educación
Asignatura: Matemática.
Grado: 7mo,8vo,9no
Guía No. 2
El Lenguaje algebraico es un medio para anotar, de manera abreviada, las operaciones que deben efectuarse y sus resultados. Por ejemplo, la frase “el triple de un número más su mitad es igual a siete”, escrita en lenguaje algebraico es:
3x+x2=7
Aprendamos algunas expresiones algebraicas más comunes:
Expresión Verbal
Expresión Algebraica
Un número desconocido
X
La suma de dos números
El doble de un número
El triple de un número
Un número aumentado en dos unidades
Un número disminuido en tres unidades
Dos números consecutivos
Un número par
Dos números pares consecutivos
El opuesto de un número
El exceso de dos números
Un número impar
Dos números impares consecutivos
La semisuma de dos números
El doble producto de la suma de dos números
La suma de dos números consecutivos
La mitad de un número
El cuadrado de un número
La suma del triple de un número más tres
El triple de la suma del número mas diez
Asignatura: Matemática.
Grado: 7mo,8vo,9no
Guía No. 2
El Lenguaje algebraico es un medio para anotar, de manera abreviada, las operaciones que deben efectuarse y sus resultados. Por ejemplo, la frase “el triple de un número más su mitad es igual a siete”, escrita en lenguaje algebraico es:
3x+x2=7
Aprendamos algunas expresiones algebraicas más comunes:
Expresión Verbal
Expresión Algebraica
Un número desconocido
X
La suma de dos números
El doble de un número
El triple de un número
Un número aumentado en dos unidades
Un número disminuido en tres unidades
Dos números consecutivos
Un número par
Dos números pares consecutivos
El opuesto de un número
El exceso de dos números
Un número impar
Dos números impares consecutivos
La semisuma de dos números
El doble producto de la suma de dos números
La suma de dos números consecutivos
La mitad de un número
El cuadrado de un número
La suma del triple de un número más tres
El triple de la suma del número mas diez
Ecuaciones
Muchos problemas se pueden resolver con más facilidad si se emplean ecuaciones. El primer paso es sustituir las cantidades buscadas por letras, que reciben el nombre de incógnitas.
A continuación, hay que encontrar una relación entre las incógnitas que nos permitan calcular su valor.
Una ecuación es, pues, una igualdad entre dos expresiones algebraica con incógnitas que solo se cumple para algunos valores, llamados soluciones.
Las dos expresiones algebraicas situadas una a la izquierda y otra a la derecha del signo igual se denominan miembros. Por ejemplo en la ecuación:
2x + 1= 3x – 2
Que tiene una incógnita, la letra x, el primer miembro es 2x + 1 y el segundo 3x -2.
Cada uno de los sumandos que forman parte de un miembro recibe el nombre de término. En nuestro ejemplo la ecuación tiene cuatro términos:
2x, 1,3x y -2
El grado de una ecuación es el mayor de los grados de los monomios que la forman. En nuestro caso, la ecuación es de grado uno. También se dice que es de primer grado. Para saber si un número real es o no es solución de una ecuación, se sustituye en la incógnita y se comprueba si la igualdad se cumple o no. Por ejemplo, el 3 es una solución de la ecuación con la que estamos trabajando, pero el 12 no lo es, ya que, en el caso del 3, el primer miembro vale:
2.3 + 1 = 7
Y el segundo:
3.3 -2 = 7
En cambio, en el caso del 12, el primer miembro vale:
2.12 + 1= 25
Mientras que el segundo vale:
3.12- 2 = 34
A continuación, hay que encontrar una relación entre las incógnitas que nos permitan calcular su valor.
Una ecuación es, pues, una igualdad entre dos expresiones algebraica con incógnitas que solo se cumple para algunos valores, llamados soluciones.
Las dos expresiones algebraicas situadas una a la izquierda y otra a la derecha del signo igual se denominan miembros. Por ejemplo en la ecuación:
2x + 1= 3x – 2
Que tiene una incógnita, la letra x, el primer miembro es 2x + 1 y el segundo 3x -2.
Cada uno de los sumandos que forman parte de un miembro recibe el nombre de término. En nuestro ejemplo la ecuación tiene cuatro términos:
2x, 1,3x y -2
El grado de una ecuación es el mayor de los grados de los monomios que la forman. En nuestro caso, la ecuación es de grado uno. También se dice que es de primer grado. Para saber si un número real es o no es solución de una ecuación, se sustituye en la incógnita y se comprueba si la igualdad se cumple o no. Por ejemplo, el 3 es una solución de la ecuación con la que estamos trabajando, pero el 12 no lo es, ya que, en el caso del 3, el primer miembro vale:
2.3 + 1 = 7
Y el segundo:
3.3 -2 = 7
En cambio, en el caso del 12, el primer miembro vale:
2.12 + 1= 25
Mientras que el segundo vale:
3.12- 2 = 34
Ecuaciones de primer grado con una incógnita
Planteamiento
Plantear un problema consiste en escribir la ecuación a partir de los datos del mismo. Veamos un ejemplo: si el equipo de fútbol de nuestra ciudad hubiera conseguido 17 puntos más en el campeonato, habría obtenido los mismos puntos que el campeón, que logro 83. ¿Cuántos puntos consiguieron nuestro equipo?
Para plantear un problema hay que dar los pasos siguientes:
1.Leer detenidamente el enunciado del problema hasta que lo comprendamos bien.
2.Buscar en el enunciado que es lo que nos preguntan. En nuestro caso cuantos puntos ha obtenido el equipo de nuestra ciudad.
3.Emplear una letra diferente (incógnita) para designar a cada una de las cosas que nos pregunten. En nuestro caso solo nos preguntan una cosa. Por tanto, llamaremos x a los puntos logrados. por nuestra equipo de nuestra ciudad.
Plantear un problema consiste en escribir la ecuación a partir de los datos del mismo. Veamos un ejemplo: si el equipo de fútbol de nuestra ciudad hubiera conseguido 17 puntos más en el campeonato, habría obtenido los mismos puntos que el campeón, que logro 83. ¿Cuántos puntos consiguieron nuestro equipo?
Para plantear un problema hay que dar los pasos siguientes:
1.Leer detenidamente el enunciado del problema hasta que lo comprendamos bien.
2.Buscar en el enunciado que es lo que nos preguntan. En nuestro caso cuantos puntos ha obtenido el equipo de nuestra ciudad.
3.Emplear una letra diferente (incógnita) para designar a cada una de las cosas que nos pregunten. En nuestro caso solo nos preguntan una cosa. Por tanto, llamaremos x a los puntos logrados. por nuestra equipo de nuestra ciudad.
Concepto de Ecuaciones:
Se llama ecuaciones a toda igualdad de dos expresiones algebraicas, qué relacionan cantidades, conocidas con otras desconocidas llamadas incógnitas. Esta igualdad solo se verifica para ciertos valores de la incógnita. Al conjunto de estos valores se les llama raíces o soluciones de la ecuación.
Clases de Ecuaciones:
De acuerdo al mayor exponente de la incógnita se denomina 1 ro, 2do ,3 er grado, según que la incógnita tenga como exponente a 1, 2,3 respectivamente.
De acuerdo al numero de incógnitas se denomina ecuaciones con una, dos, tres incógnitas, según que la ecuación tenga una, dos, tres letras conocidas, respectivamente.
De acuerdo si tiene o no solución se denomina ecuaciones compatibles (si se admiten un numero limitado o limitado de soluciones) e incompatibles (si no admiten solución).
De acuerdo al numero de incógnitas se denomina ecuaciones con una, dos, tres incógnitas, según que la ecuación tenga una, dos, tres letras conocidas, respectivamente.
De acuerdo si tiene o no solución se denomina ecuaciones compatibles (si se admiten un numero limitado o limitado de soluciones) e incompatibles (si no admiten solución).
Sistema de ecuaciones de primer grado o de ecuaciones simultaneas.
Dos o más ecuaciones forman un sistema cuando las soluciones son comunes a todas las ecuaciones del sistema.
Para resolver un sistema de ecuaciones, se le trasforma a un sistema de ecuaciones equivalentes, que permiten eliminar incógnitas, hasta que quede una sola incógnita.
Identidad: es una igualdad que se verifica para cualesquiera valores de las letras que entran en ella.
Así:(a-b)²=(a-b).(a-b)
(a²+m²)=(a+m).(a-m)
Son identidades, porque se verifican para cualquier valor de las letras a y b en el primer ejemplo y de las letras a y m del segundo ejemplo.
El signo de identidad es , que se lee “idéntico a”.Así, la identidad de (x+y)²=x²+2xy+y²
Miembros: Se llama primer miembro de una ecuación o de una identidad a la expresión que esta a la izquierda del signo de igualdad o identidad, y segundo miembro, a la expresión que esta a la derecha.
Así, la ecuación: 3x-5 =2x-3
El primer miembro es 3x-5 y el segundo miembro 2x-3.
Termino: Son cada una de las cantidades que están conectadas con otra por el signo + o - , o la cantidad que esta sola en un miembro.
Así, la ecuación 3X-5=2X-3
LOS TERMINOS SON 3X,-5,2X Y -3
No deben confundirse los miembros de una ecuación con los termino de la mismo, error muy frecuente en los alumnos.
Miembro y términos son equivalentes solo cuando en un miembro de una ecuación hay una sola cantidad.
Así, en la ecuación 3x=2x+3
Tenemos que 3x es el primer miembro de la ecuación y también es un término de la ecuación.
Grado de una ecuación con una sola incógnita es el mayor exponente que tiene la incógnita en la ecuación .Así son ecuaciones de primer grado porque el mayor exponente de x es 1
La ecuación x²+5x+6 es una ecuación de segundo grado porque el exponente de x es 2 .Las ecuaciones de primer grado se llaman ecuaciones simples o lineales.
Para resolver un sistema de ecuaciones, se le trasforma a un sistema de ecuaciones equivalentes, que permiten eliminar incógnitas, hasta que quede una sola incógnita.
Identidad: es una igualdad que se verifica para cualesquiera valores de las letras que entran en ella.
Así:(a-b)²=(a-b).(a-b)
(a²+m²)=(a+m).(a-m)
Son identidades, porque se verifican para cualquier valor de las letras a y b en el primer ejemplo y de las letras a y m del segundo ejemplo.
El signo de identidad es , que se lee “idéntico a”.Así, la identidad de (x+y)²=x²+2xy+y²
Miembros: Se llama primer miembro de una ecuación o de una identidad a la expresión que esta a la izquierda del signo de igualdad o identidad, y segundo miembro, a la expresión que esta a la derecha.
Así, la ecuación: 3x-5 =2x-3
El primer miembro es 3x-5 y el segundo miembro 2x-3.
Termino: Son cada una de las cantidades que están conectadas con otra por el signo + o - , o la cantidad que esta sola en un miembro.
Así, la ecuación 3X-5=2X-3
LOS TERMINOS SON 3X,-5,2X Y -3
No deben confundirse los miembros de una ecuación con los termino de la mismo, error muy frecuente en los alumnos.
Miembro y términos son equivalentes solo cuando en un miembro de una ecuación hay una sola cantidad.
Así, en la ecuación 3x=2x+3
Tenemos que 3x es el primer miembro de la ecuación y también es un término de la ecuación.
Grado de una ecuación con una sola incógnita es el mayor exponente que tiene la incógnita en la ecuación .Así son ecuaciones de primer grado porque el mayor exponente de x es 1
La ecuación x²+5x+6 es una ecuación de segundo grado porque el exponente de x es 2 .Las ecuaciones de primer grado se llaman ecuaciones simples o lineales.
Axiomas fundamentales de la ecuación:
Si son dos cantidades iguales se verifican operaciones iguales los resultados serán iguale.
Reglas que se derivan de este axioma
1. Si al os dos miembros de una ecuación se suma una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.
2. Si los dos miembros de una ecuación se resta una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.
3. Si los dos miembros de una ecuación se multiplica por una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.
4. .Si los dos miembros de una ecuación se divide por una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.
1..Si los dos miembros de una ecuación se elevan a una misma potencia o si a los dos miembros se les extrae una raíz, la igualdad subsiste.
Reglas que se derivan de este axioma
1. Si al os dos miembros de una ecuación se suma una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.
2. Si los dos miembros de una ecuación se resta una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.
3. Si los dos miembros de una ecuación se multiplica por una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.
4. .Si los dos miembros de una ecuación se divide por una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.
1..Si los dos miembros de una ecuación se elevan a una misma potencia o si a los dos miembros se les extrae una raíz, la igualdad subsiste.
La transposición de término: consiste los términos de una ecuación de un miembro a otro.
Cualquier término de una ecuación se puede pasar de un miembro a otro cambiándole de signo.
Regla:
1.Sea la ecuación 5x=2a –b+b.
Sumando b a los dos miembros de esta ecuación, la igualdad subsiste, y tendremos: 5x +b=2a-b+b
Y como –b+b=0, queda 5x +b=2a donde vemos que –b, que estaba en el segundo miembrote la ecuación dada, ha pasado al primer miembro con signo +.
2.Sea la ecuación 3x+b=2a
Restando b a los dos miembros de esta ecuación, la igualdad subsiste y tendremos:
3x+b-b=2a-b y como b-b=, queda 3x=2a-b.
Donde vemos que +b, que estaba en el primer miembro de la ecuación dada es pasado al segundo miembro con signo -.
Regla:
1.Sea la ecuación 5x=2a –b+b.
Sumando b a los dos miembros de esta ecuación, la igualdad subsiste, y tendremos: 5x +b=2a-b+b
Y como –b+b=0, queda 5x +b=2a donde vemos que –b, que estaba en el segundo miembrote la ecuación dada, ha pasado al primer miembro con signo +.
2.Sea la ecuación 3x+b=2a
Restando b a los dos miembros de esta ecuación, la igualdad subsiste y tendremos:
3x+b-b=2a-b y como b-b=, queda 3x=2a-b.
Donde vemos que +b, que estaba en el primer miembro de la ecuación dada es pasado al segundo miembro con signo -.
Términos iguales con signos iguales en distinto miembro de una ecuación pueden suprimirse.
Así, en la ecuación x+b=2a+b
Tenemos el termino b con signo + en los dos miembros. Este terminó puede suprimirse, quedando x=2a
Porque equivale a restar b a los dos miembros.
Y quedaría:
5x-x²=4x-x²+5
Tenemos el termino x² con el signo -x² en los dos miembro, se eliminan y queda 5x=4x+5 porqué equivale a sumar x a los dos miembros.
Resolución de ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita:
Se efectúan las operaciones indicadas, si las hay.
Se hace la transposición de términos, reuniendo en un miembro todos los términos que contengan la incógnita y en el otro miembro todas las cantidades conocidas.
Se reducen términos semejante en cada miembro.
Se despeja la incógnita dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita.
jueves, 18 de febrero de 2010
EL ARTE DE PLANTEAR ECUACIONES
ÁLGEBRA: Parte de las matemáticas que se dedica en sus aspectos más elementales a resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones .Los algoritmos de resolución de ecuaciones y de sistemas de ecuaciones han ocupado a muchos matemáticos a lo largo de la historia. Así, se conoce la existencia de problemas resueltos por procedimientos algebraicos, que datan del año 1900 a.c... El lenguaje simbólico utilizado en estos procesos se atribuye a los árabes.
Concepto de Ecuaciones:
Se llama ecuaciones a toda igualdad de dos expresiones algebraicas, qué relacionan cantidades con otras desconocidas llamadas incógnitas. Esta igualdad sólo se verifica para ciertos valores de la incógnita .Al conjunto de estos valores se les llama raíces o soluciones de la ecuación.
Clases de ecuaciones:
1.- De acuerdo al mayor exponente de la incógnita se denominada 1ro, 2do, 3er grado, según que la incógnita tenga como exponente a 1, 2, 3, 4, etc.respectivamente.
2.-De acuerdo al número de incógnitas se denomina ecuaciones con una, dos, tres incógnitas, etc., según que la ecuación tenga una, dos, tres desconocidas, respectivamente.
3.-De acuerdo a si tienen o no solución se denomina ecuaciones compatibles (si admiten un número limitado o ilimitado de soluciones) e incompatibles (si no admiten solución).
Sistemas de ecuaciones de 1er grado
Dos o más ecuaciones forman un sistema cuando las soluciones son comunes a todas las ecuaciones del sistema. Para resolver un sistema de ecuaciones, se le trasforma a un sistema de ecuaciones equivalentes, que permitan eliminar incógnitas, hasta que quede una sola incógnita por despejarse.
Métodos para resolver sistemas de ecuaciones con dos incógnitas
1.- Método de sustitución
Consiste en despejar una incógnita de una de las ecuaciones y reemplazarlas en la otra ecuación, de modo que quede una sola ecuación con una incógnita.
2. Método de igualación
Consiste en despejar la misma incógnita de cada una de las ecuaciones,y luego se igualan esos resultados hasta que quede una ecuación con una incógnita.
3.- Método de reducción
Consiste en multiplicar una de las incógnitas por un factor adecuado de modo que ambas ecuaciones tal incógnita tenga el mismo coeficiente con signos opuestos,de tal forma que al suma ambas ecuaciones se pueda eliminar tal incógnita,quedando una ecuación con una incógnitas.
Consiste en despejar una incógnita de una de las ecuaciones y reemplazarlas en la otra ecuación, de modo que quede una sola ecuación con una incógnita.
2. Método de igualación
Consiste en despejar la misma incógnita de cada una de las ecuaciones,y luego se igualan esos resultados hasta que quede una ecuación con una incógnita.
3.- Método de reducción
Consiste en multiplicar una de las incógnitas por un factor adecuado de modo que ambas ecuaciones tal incógnita tenga el mismo coeficiente con signos opuestos,de tal forma que al suma ambas ecuaciones se pueda eliminar tal incógnita,quedando una ecuación con una incógnitas.
El Idioma de Algebra es la Ecuación
Isaac Newton en su manual de Algebra titulado ARITMETICA Universal escribió: <
| Enunciados | Expresión Algebraica |
| Un número par | 2n |
| La semisuma de dos números | a+b/2 |
| Un número impar | 2n+1 o 2n-1 |
| Un múltiplo de 7 | 7x |
| La suma de tres números consecutivos | X+(x+1)+(x+2) |
| El producto de dos números aumentado en uno | (a.b)+1 |
| Un número x aumentado en “a” (donde “a” es cualquier número). | X+a |
| Mi edad actual, más la que tendré dentro de “b” años (donde “b” es cualquier número y x mi edad). | X+(x+b) |
| La cuarta parte de un número más el doble del mismo | x/4+2x |
| La suma de dos cuadrados | x^2+ y^2 |
| El cuadrado de una suma | (x+y)^2 |
| Una suma por su diferencia | (x+y).(x-y) |
| La suma de tres cubos | X^3+y^3+z^3 |
| El cuadrado de un número | X^2 |
| El doble de un número | 2x |
| Semidiferencia | x-y/2 |
| Duplo | 2x |
| Triplo | 3x |
| Cuádruplo | 4x |
| La suma de dos términos | x+y |
| La diferencia de dos términos | x-y |
| El producto de dos números | x.y |
| El cociente de dos números | x/y |
| La raíz de un número | Raíz cuadrada de x |
| El “n” veces de un número | Nx |
| Tres números consecutivos | x,x+1,x+2 |
| La suma de tres pares consecutivos | 2x+(2x+2)+(2x+5) |
| La suma de tres impares consecutivos | (2x+1)+(2x+3) +(2x+5) |
| La edad de una persona hace “b”años | x-b |
| La raíz de la edad hace “a” años | Raíz cuadrada de (x-a) |
| La mitad de un número de “x | x/2 |
| Se compra cierto numero de “x” por bs, F 10 | 10000/X |
| La tercera parte de un numero | x/3 |
| La n-esima parte de un numero | x/n |
| La semidiferencia | (x-y)/2 |
| El inverso multiplicado | 1/x |
| El inverso aditivo (opuesto) | -x |
| La edad de x dentro de b años | X+b |
| Un número excede a otro en b unidades | y = x+b |
| Un número mayor que otro en a unidades | y = x+b |
| Un número menor que otro en a unidades | y = x-a |
| El exceso de un numero a su cuadrado | x-x^2 |
| El doble producto de la suma de dos | 2(x+y) |
| Un número excede a su opuesto en e | y = x+e |
| Producto de dos números menos su diferencia | x.y-(x-y) |
Problemas Resueltos
La vida de Diofanto .La historia ha conservado pocos rasgos biográficos de Diofanto, notable matemático de la antigüedad. Todo lo que se conoce acerca de él ha sido tomado de la dedicatoria que figura en su sepulcro, inscripción compuesta en forma de ejercicio matemático.
1. . Escribimos el enunciado directamente en la tabla:
| En la lengua Vernácula | En el idioma del álgebra |
| ¡Caminante! Aquí fueron sepultados los restos de Diofanto .Y los números pueden mostrar, ¡oh milagro! ,cuán larga fue su vida, | X |
| Cuya sexta parte constituyó su infancia | x/6 |
| Había trascurrido además una duodécima parte de su vida, cuando de vello cubriese su barbilla. | x/12 |
| Y la séptima parte de su existencia transcurrió en un matrimonio estéril | x/7 |
| Pasó un quinquenio más y le hizo dichoso el nacimiento de su precioso primogénito. | 5 |
| Que entregó su cuerpo, su hermosa existencia, que duró tan sólo la mitad de la de su padre a la tierra. | x/2 |
| Y con profunda pena descendió a la sepultura, habiendo sobrevivido cuatro años al deceso de su hijo. | x=x/6+x/12+x/7+5+x/2+4 |
x= x/6+x/12+x/7+x/2+9
m.c.m (6, 12, 7,2) = 84
84x=14x+7x+12x+42x +756
84x-14x-7x-12x-42x =756
9x=756
X= 756/9
X=84
Problema para resolver:
El caballo y el mulo., Un caballo y un mulo caminaban juntos llevando sobre sus lomos pesados sacos. Lámentabase el jamelgo de su enojosa carga, a lo que el mulo le dijo:<< ¿De qué te quejas? Si yo tomara un saco un saco, mi carga sería el doble que la tuya .En cambio, si yo te doy un saco, tu carga se igualaría a la mía>>. ¿Cuántos sacos llevaba el caballo, y cuántos el mulo?
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