EL ARTE DE PLANTEAR ECUACIONES

ÁLGEBRA: Parte de las matemáticas que se dedica en sus aspectos más elementales a resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones .Los algoritmos de resolución de ecuaciones y de sistemas de ecuaciones han ocupado a muchos matemáticos a lo largo de la historia. Así, se conoce la existencia de problemas resueltos por procedimientos algebraicos, que datan del año 1900 a.c... El lenguaje simbólico utilizado en estos procesos se atribuye a los árabes.

Concepto de Ecuaciones:

Se llama ecuaciones a toda igualdad de dos expresiones algebraicas, qué relacionan cantidades con otras desconocidas llamadas incógnitas. Esta igualdad sólo se verifica para ciertos valores de la incógnita .Al conjunto de estos valores se les llama raíces o soluciones de la ecuación.

Clases de ecuaciones:

1.- De acuerdo al mayor exponente de la incógnita se denominada 1ro, 2do, 3er grado, según que la incógnita tenga como exponente a 1, 2, 3, 4, etc.respectivamente.

2.-De acuerdo al número de incógnitas se denomina ecuaciones con una, dos, tres incógnitas, etc., según que la ecuación tenga una, dos, tres desconocidas, respectivamente.

3.-De acuerdo a si tienen o no solución se denomina ecuaciones compatibles (si admiten un número limitado o ilimitado de soluciones) e incompatibles (si no admiten solución).

Sistemas de ecuaciones de 1er grado

Dos o más ecuaciones forman un sistema cuando las soluciones son comunes a todas las ecuaciones del sistema. Para resolver un sistema de ecuaciones, se le trasforma a un sistema de ecuaciones equivalentes, que permitan eliminar incógnitas, hasta que quede una sola incógnita por despejarse.

Métodos para resolver sistemas de ecuaciones con dos incógnitas

1.- Método de sustitución
Consiste en despejar una incógnita de una de las ecuaciones y reemplazarlas en la otra ecuación, de modo que quede una sola ecuación con una incógnita.
2. Método de igualación
Consiste en despejar la misma incógnita de cada una de las ecuaciones,y luego se igualan esos resultados hasta que quede una ecuación con una incógnita.
3.- Método de reducción
Consiste en multiplicar una de las incógnitas por un factor adecuado de modo que ambas ecuaciones tal incógnita tenga el mismo coeficiente con signos opuestos,de tal forma que al suma ambas ecuaciones se pueda eliminar tal incógnita,quedando una ecuación con una incógnitas.

El Idioma de Algebra es la Ecuación

Isaac Newton en su manual de Algebra titulado ARITMETICA Universal escribió: <>También mostró con ejemplos como debía efectuarse dicha traducción.

Enunciados	Expresión Algebraica
Un número par	2n
La semisuma de dos números	a+b/2
Un número impar	2n+1 o 2n-1
Un múltiplo de 7	7x
La suma de tres números consecutivos	X+(x+1)+(x+2)
El producto de dos números aumentado en uno	(a.b)+1
Un número x aumentado en “a” (donde “a” es cualquier número).	X+a
Mi edad actual, más la que tendré dentro de “b” años (donde “b” es cualquier número y x mi edad).	X+(x+b)
La cuarta parte de un número más el doble del mismo	x/4+2x
La suma de dos cuadrados	x^2+ y^2
El cuadrado de una suma	(x+y)^2
Una suma por su diferencia	(x+y).(x-y)
La suma de tres cubos	X^3+y^3+z^3
El cuadrado de un número	X^2
El doble de un número	2x
Semidiferencia	x-y/2
Duplo	2x
Triplo	3x
Cuádruplo	4x
La suma de dos términos	x+y
La diferencia de dos términos	x-y
El producto de dos números	x.y
El cociente de dos números	x/y
La raíz de un número	Raíz cuadrada de x
El “n” veces de un número	Nx
Tres números consecutivos	x,x+1,x+2
La suma de tres pares consecutivos	2x+(2x+2)+(2x+5)
La suma de tres impares consecutivos	(2x+1)+(2x+3) +(2x+5)
La edad de una persona hace “b”años	x-b
La raíz de la edad hace “a” años	Raíz cuadrada de (x-a)
La mitad de un número de “x	x/2
Se compra cierto numero de “x” por bs, F 10	10000/X
La tercera parte de un numero	x/3
La n-esima parte de un numero	x/n
La semidiferencia	(x-y)/2
El inverso multiplicado	1/x
El inverso aditivo (opuesto)	-x
La edad de x dentro de b años	X+b
Un número excede a otro en b unidades	y = x+b
Un número mayor que otro en a unidades	y = x+b
Un número menor que otro en a unidades	y = x-a
El exceso de un numero a su cuadrado	x-x^2
El doble producto de la suma de dos	2(x+y)
Un número excede a su opuesto en e	y = x+e
Producto de dos números menos su diferencia	x.y-(x-y)

Problemas Resueltos

La vida de Diofanto .La historia ha conservado pocos rasgos biográficos de Diofanto, notable matemático de la antigüedad. Todo lo que se conoce acerca de él ha sido tomado de la dedicatoria que figura en su sepulcro, inscripción compuesta en forma de ejercicio matemático.

1. . Escribimos el enunciado directamente en la tabla:

En la lengua Vernácula	En el idioma del álgebra
¡Caminante! Aquí fueron sepultados los restos de Diofanto .Y los números pueden mostrar, ¡oh milagro! ,cuán larga fue su vida,	X
Cuya sexta parte constituyó su infancia	x/6
Había trascurrido además una duodécima parte de su vida, cuando de vello cubriese su barbilla.	x/12
Y la séptima parte de su existencia transcurrió en un matrimonio estéril	x/7
Pasó un quinquenio más y le hizo dichoso el nacimiento de su precioso primogénito.	5
Que entregó su cuerpo, su hermosa existencia, que duró tan sólo la mitad de la de su padre a la tierra.	x/2
Y con profunda pena descendió a la sepultura, habiendo sobrevivido cuatro años al deceso de su hijo.	x=x/6+x/12+x/7+5+x/2+4

x= x/6+x/12+x/7+x/2+9

m.c.m (6, 12, 7,2) = 84

84x=14x+7x+12x+42x +756

84x-14x-7x-12x-42x =756

9x=756

X= 756/9

X=84

Problema para resolver:

El caballo y el mulo., Un caballo y un mulo caminaban juntos llevando sobre sus lomos pesados sacos. Lámentabase el jamelgo de su enojosa carga, a lo que el mulo le dijo:<< ¿De qué te quejas? Si yo tomara un saco un saco, mi carga sería el doble que la tuya .En cambio, si yo te doy un saco, tu carga se igualaría a la mía>>. ¿Cuántos sacos llevaba el caballo, y cuántos el mulo?